3 research outputs found
Fast -Approximation Algorithms for Binary Matrix Factorization
We introduce efficient -approximation algorithms for the
binary matrix factorization (BMF) problem, where the inputs are a matrix
, a rank parameter , as well as an
accuracy parameter , and the goal is to approximate
as a product of low-rank factors and
. Equivalently, we want to find
and that minimize the Frobenius loss . Before this work, the state-of-the-art for this problem was
the approximation algorithm of Kumar et. al. [ICML 2019], which achieves a
-approximation for some constant . We give the first
-approximation algorithm using running time singly exponential
in , where is typically a small integer. Our techniques generalize to
other common variants of the BMF problem, admitting bicriteria
-approximation algorithms for loss functions and the
setting where matrix operations are performed in . Our approach
can be implemented in standard big data models, such as the streaming or
distributed models.Comment: ICML 202
Cofinitary groups
Das Thema dieser Arbeit sind kofinitäre Gruppen, eine spezielle Klasse an Untergruppen der unendlichen Permutationsgruppen. Wir beginnen mit einer Übersicht der algebraischen Resultate für diese Gruppen. Die wichtigsten Resultate in diesem Kapitel sind strukturelle Einschränkungen der Kardinalität von kofinitären Gruppen durch ihre Orbitstruktur. In weiterer Folge betrachten wir Konstruktionen von kofinitären Gruppen mittels projektiver Limits und Automorphismen von Boolschen Algebren. Der Rest der Thesis befasst sich mit maximalen kofinitären Gruppen, wobei wir zuerst die möglichen Größen, sowie die kombinatorische Charakteristik a_g betrachten. In Kapitel 4 werden wir Forcing verwenden, um zu jedem Tupel (n, m) in N>0 x N eine maximale kofinitäre Gruppe zu finden welche n unendliche und m endliche Orbits aufweist, wodurch wir unendlich viele nicht isomorphe Gruppen konstruieren können. In Kapitel 5 konstruieren wir mittels Forcing eine maximale kofinitäre Gruppe in welche wir alle abzählbar unendlichen Gruppen einbetten können. Im letzten Kapitel zeigen wir eine Konstruktion, welche uns die möglichen Größen von maximalen kofinitären Gruppen in unserem Modell steuern lässt.The topic of this thesis is cofinitary groups, which are special subgroups of the infinite permutation group. We will begin by giving an overview of the algebraic properties of cofinitary groups. We will survey the algebraic properties of cofinitary groups, where the main results give us bounds on the size of cofinitary groups based on their orbit structure. We will then examine how to construct cofinitary groups using inverse limits and automorphisms of Boolean algebras. We then begin looking at maximal cofinitary groups and their possible sizes as well as the combinatorial characteristic a_g. In chapter 4 we will use forcing to show that there are infinitely many, non-isomorphic, maximal cofinitary groups, by constructing a group with n infinite and m finite orbits, for any tuple (n, m) in N>0 x N. In chapter 5, we use forcing constructions to show the existence of a maximal cofinitary group into which every countable group embeds. Finally, we show that we can tightly control the possible sizes of cofinitary groups in a model by adapting a novel proof from the theory of maximal almost disjoint families